実例

例として、三次元トポロジカル絶縁体のBi$_2$Se$_3$ の$Z_{2}$不変量を計算します[83]。

SCF計算
ディレクトリ「work」に収容された「Bi2Se3-Z2.dat」を用いて、以下のキーワードを設定し、 SCF計算を実行します。

    HS.fileout      on      #on|off, default=off

SCF計算が正常に終了すると、出力ファイル「Bi2Se3-Z2.scfout」が生成されます。

Z$_2$不変量の計算
ポストプロセスコード「Z2FH」を用いたZ$_2$不変量の計算の前に、 ディレクトリ「source」にてコードを以下のようにコンパイルします。

    % make Z2FH

コンパイルの後に、実行ファイル「Z2FH」がディレクトリ「work」に生成されます。 そして、以下のようにZ$_2$不変量の計算に進みます。

   % ./Z2FH Bi2Se3-Z2.scfout
 or
   % ./Z2FH Bi2Se3-Z2.scfout < Z2FH.in > Z2FH.out
 or
   % mpirun -np 4 ./Z2FH Bi2Se3-Z2.scfout < Z2FH.in > Z2FH.out

ファイル「Z2FH.in」は以下のように「Z2FH」の計算に必要とされるパラメータを含んでいます。

   5
   1
   1

上記の最初の実行例では、以下のようにプログラムから対話的に問われます。

    ******************************************************************
    ******************************************************************
     Z2FH:
     code for calculating the Z2 invariant of bulk systems
     by Fukui-Hatsugai method.
     Copyright (C), 2019, Hikaru Sawahata, Naoya Yamaguchi,
     Fumiyuki Ishii and Taisuke Ozaki 
     This is free software, and you are welcome to         
     redistribute it under the constitution of the GNU-GPL.
     
     Please cite the following article:
     H. Sawahata, N. Yamaguchi, H. Kotaka and F. Ishii,
     Jpn. J. Appl. Phys. 57, 030309 (2018).
    ******************************************************************
    ******************************************************************
    Mesh1 Number(Half Direction):5
    Calculate All plane?(0:No,1:Yes)1
    Restart?[1:x0,2:xpi,3:y0....]1
    
    Read the scfout file (Bi2Se3-Z2.scfout)
    ***
    The file format of the SCFOUT file:  3
    And it supports the following functions:
    - jx
    - polB
    - kSpin
    - Z2FH
    - calB
    ***

Z2FHのパラメタ
入力ファイル「Z2FH.in」のパラメータを以下に説明します。

• 第一行には、積分区間の半分におけるメッシュの数を指定します。 言い換えると、第一ブリルアンゾーンの四分の一の空間です(図 75を参照してください)。 5を指定すると、コードは ブリルアンゾーンの四分の一において5$\times$5 のk点メッシュで形成された 正方形のプラケットで積分を実施します。

• 第二行には、計算する$Z_{2}$ 不変量を$Z_{2}$ 不変量が定義される6個のk平面の全てで実施するか否か指定します。 もし $(\nu_{0}, \nu_{1}, \nu_{2}, \nu_{3})$ に対する4個の平面でのみ計算したいなら、0を指定します。 反対に1を指定すると、( $x_{0},x_{\pi},y_{0},y_{\pi},z_{0},z_{\pi}$)に対する6個の平面のすべての計算に対応します。

• 第三行目には、計算をリスタートするk面を指定します。 数値 1, 2, 3, 4, 5, 6 はそれぞれ $k_1=0$, $k_1=\frac{{\bf G}_{1}}{2}$, $k_2=0$, $k_2=\frac{{\bf G}_{2}}{2}$, $k_3=0$, $k_3=\frac{{\bf G}_{3}}{2}$ 面に対応します。

出力ファイル
ポストプロセスコード「Z2FH」による計算の後、以下のファイルが生成されます。

• Z2.dat

  このファイルは$Z_{2}$不変量の計算結果を記録します。 すべてのk面で計算する場合(第二行で1を指定した場合)は、 以下のように 6個のk面での$Z_{2}$不変量が第一行に並び、 4個のk面での$Z_{2}$不変量が第二行に並びます。

    Z2 invariant:(x0,xpi,y0,ypi,z0,zpi)=(1.000000,-0.000000,1.000000,-0.000000,1.000000,-0.000000)
    Z2 invariant:(nu0,nu1,nu2,nu3):(1,0,0,0)
  

• LCNum*.dat

  整数値の場$n({\bf k})$のデータファイル。 ここでLCNumの前の*は1から6まで走るインデックスです。 数値 (1,2,3,4,5,6) はそれぞれ $(x_{0},x_{\pi},y_{0},y_{\pi},z_{0},z_{\pi})$ に対応します。 4面のみを計算する場合は、 $(x_{\pi},y_{\pi},z_{0},z_{\pi})$に対応する四つのファイルLCNum(2,4,5,6).datが生成されます。

• LCNum*.pl

  Gnuplot用のスクリプトファイル。 ここでLCNumの前の*は1から6まで走るインデックスです。 数値 (1,2,3,4,5,6) はそれぞれ $(x_{0},x_{\pi},y_{0},y_{\pi},z_{0},z_{\pi})$ に対応します。 4面のみを計算する場合は、 $(x_{\pi},y_{\pi},z_{0},z_{\pi})$に対応する四つのファイルLCNum(2,4,5,6).plが生成されます。 整数値の場$n({\bf k})$を以下のように可視化できます。

        % gnuplot LCNum1.pl
     

• temporal_12345.input

  このファイルは入力ファイルのコピーです。 これはSCF計算に用いられたもので、scfoutファイルから再構築されました。

例として、$k_1=0$での整数値の場$n({\bf k})$を図 77に示します。 これは上記で説明した手順で「gnuplot LCNum1.pl」として得られます。 $n({\bf k})$はゲージに依存する値なので、計算環境によっては異なる結果になるかもしれません。 他方、Z$_2$不変量は再現されるはずです。

Figure 77: 整数値の場$n({\bf k})$の例。 赤い丸は+1を表し、 青い丸は-1を表し、 空白は0を表す。 $n({\bf k})$はゲージに依存する量なので、計算環境によっては異なる結果になるかもしれません。 他方、Z$_2$不変量は再現されるはずです。